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反三角函数反三角函数图形利用反函数的性质绘制反三角图形反三角函数的定义域&值域反三角函数的恒等式推导
反三角函数
反三角函数 (wikipedia.org)
反三角函数图形
sin
(
x
)
,
arcsin
(
x
)
\sin(x),\arcsin(x)
sin(x),arcsin(x)
cos
(
x
)
,
arccos
(
x
)
\cos(x),\arccos(x)
cos(x),arccos(x)
tan
(
x
)
,
arctan
(
x
)
\tan{(x)},\arctan{(x)}
tan(x),arctan(x)
arcsin
x
,
arccos
x
\arcsin{x},\arccos{x}
arcsinx,arccosx
arctan
x
,
arccot
x
\arctan{x},\operatorname{arccot}{x}
arctanx,arccotx
a
r
c
s
e
c
x
,
a
r
c
c
s
c
x
\mathrm{arcsec}{x},\mathrm{arccsc}{x}
arcsecx,arccscx
利用反函数的性质绘制反三角图形
由于反函数与其原本的直接函数关于
y
=
x
y=x
y=x这一直线对称,因此我们可以根据反三角函数
b
(
x
)
b(x)
b(x)的值域,在直接三角函数上
b
(
x
)
b(x)
b(x)截取一段相应的区间,这部分函数记为
c
(
x
)
c(x)
c(x)再将
c
(
x
)
c(x)
c(x)关于
y
=
x
y=x
y=x作对称图形另一方面结合相关不等式,来提高草图准确度,例如:
由
sin
x
<
x
<
arcsin
x
\sin{x} sinx ( x ∈ ( 0 , 1 ) ) (x\in(0,1)) (x∈(0,1)),三条曲线 sin x , x , arctan x \sin{x},x,\arctan{x} sinx,x,arctanx在 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)区间内没有交点,而在 x = 0 x=0 x=0处三个函数交于原点又因为三个函数都是奇函数,从而在第三象限三个函数的大小关系相反,且仍然没有交点也可以结合函数的凹凸性,提高函数图形草图的走势准确度 因此绘制反三角函数草图时,先绘制 y = x y=x y=x,(虚线)然后以其对称轴,绘制直接函数的对称部分 反三角函数的定义域&值域 反三角函数的恒等式 arcsin x + arccos x = π 2 \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}} arcsinx+arccosx=2π arctan x + arccot x = π 2 . \arctan x+\operatorname{arccot} x={\frac {\pi }{2}}. arctanx+arccotx=2π. arctan x + arctan 1 x = { π 2 , i f x > 0 − π 2 , i f x < 0 \arctan x+\arctan {\frac {1}{x}} =\left\{{\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}},&{\mathrm {if }}x>0\\ -{\frac {\pi }{2}},&{\mathrm {if }}x<0\end{matrix}}\right. arctanx+arctanx1={2π,−2π,ifx>0ifx<0 arctan x + arctan y = arctan x + y 1 − x y + { π , i f x , y > 0 − π , i f x , y < 0 0 , o t h e r w i s e \arctan x+\arctan y=\arctan {\frac {x+y}{1-xy}}+\left\{{\begin{matrix}\pi ,&{\mathrm {if }}x,y>0\\ -\pi ,&{\mathrm {if }}x,y<0\\ 0,&{\mathrm{otherwise }}\end{matrix}}\right. arctanx+arctany=arctan1−xyx+y+⎩ ⎨ ⎧π,−π,0,ifx,y>0ifx,y<0otherwise sin ( arccos x ) = 1 − x 2 \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}\, sin(arccosx)=1−x2 sin ( arctan x ) = x 1 + x 2 \sin(\arctan x)={\frac {x}{{\sqrt {1+x^{2}}}}} sin(arctanx)=1+x2 x cos ( arctan x ) = 1 1 + x 2 \cos(\arctan x)={\frac {1}{{\sqrt {1+x^{2}}}}} cos(arctanx)=1+x2 1 cos ( arcsin x ) = 1 − x 2 \cos(\arcsin x)={\sqrt {1-x^{2}}}\, cos(arcsinx)=1−x2 tan ( arcsin x ) = x 1 − x 2 \tan(\arcsin x)={\frac {x}{{\sqrt {1-x^{2}}}}} tan(arcsinx)=1−x2 x tan ( arccos x ) = 1 − x 2 x \tan(\arccos x)={\frac {{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}} tan(arccosx)=x1−x2 推导 以第一个 arcsin x + arccos x = π 2 \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}} arcsinx+arccosx=2π为例 由于 cos θ = sin ( π 2 − θ ) \cos\theta=\sin(\frac{\pi}{2}-\theta) cosθ=sin(2π−θ),设它们都等于 x x x.则得到 cos θ = x \cos{\theta}=x cosθ=x(1); sin ( π 2 − θ ) = x \sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=x sin(2π−θ)=x(2) 对(1)两边同时取 arcsin \arcsin arcsin,得 θ = arcsin x \theta=\arcsin{x} θ=arcsinx; π 2 − θ = arccos x \frac{\pi}{2}-\theta=\arccos{x} 2π−θ=arccosx,两式相加,得 arcsin x + arccos x = π 2 \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}} arcsinx+arccosx=2π 以第一个 arctan x + arccot x = π 2 \arctan x+\operatorname{arccot} x={\frac {\pi }{2}} arctanx+arccotx=2π也是类似的 由于 tan ( π 2 − θ ) \tan(\frac{\pi}{2}-\theta) tan(2π−θ)= cot θ \cot{\theta} cotθ,可令 tan ( π 2 − θ ) \tan(\frac{\pi}{2}-\theta) tan(2π−θ)= x x x; cot θ = x \cot\theta=x cotθ=x所以 π 2 − θ = arctan x \frac{\pi}{2}-\theta=\arctan{x} 2π−θ=arctanx; θ = arccot θ \theta=\operatorname{arccot}{\theta} θ=arccotθ两式相加,得 arctan x + arccot x = π 2 \arctan x+\operatorname{arccot} x={\frac {\pi }{2}} arctanx+arccotx=2π